1、
设数列{an}满足:a1=1,an+1=3an , n∈N* . 设Sn为数列{bn}的前n项和,已知b1≠0,2bn﹣b1=S1•Sn , n∈N*
(Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=bn•log3an , 求数列{cn}的前n项和Tn;
(Ⅲ)证明:对任意n∈N*且n≥2,有 + +…+ < .
【考点】
【答案】
解:(Ⅰ)∵an+1=3an,∴{an}是公比为3,首项a1=1的等比数列,
∴通项公式为an=3n﹣1.
∵2bn﹣b1=S1•Sn,∴当n=1时,2b1﹣b1=S1•S1,
∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1.
∴当n>1时,bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2bn﹣1,∴bn=2bn﹣1,
∴{bn}是公比为2,首项a1=1的等比数列,
∴通项公式为bn=2n﹣1.
(Ⅱ)cn=bn•log3an=2n﹣1log33n﹣1=(n﹣1)2n﹣1,
Tn=0•20+1•21+2•22+…+(n﹣2)2n﹣2+(n﹣1)2n﹣1…①
2Tn=0•21+1•22+2•23+…+(n﹣2)2n﹣1+(n﹣1)2n…②
①﹣②得:﹣Tn=0•20+21+22+23+…+2n﹣1﹣(n﹣1)2n
=2n﹣2﹣(n﹣1)2n=﹣2﹣(n﹣2)2n
∴Tn=(n﹣2)2n+2.
(Ⅲ) = = = ≤ + + +…+
< + +…+ =
= (1﹣ )<
【解析】
(Ⅰ)判断an}是等比数列,求出通项公式,判断{bn}是等比数列,求出通项公式为bn.(Ⅱ)化简cn的表达式,利用错位相减法求解Tn即可.(Ⅲ)化简 并利用放缩法,通过数列求和证明即可.
【考点精析】认真审题,首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系).
题型:解答题
题类:
难度:一般
组卷次数:0
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