1、
在平面直角坐标平面中,的两个顶点为,平面内两点、同时满足:①;②;③.
(1)求顶点的轨迹的方程;
(2)过点作两条互相垂直的直线,直线与点的轨迹相交弦分别为,设弦的中点分别为.
①求四边形的面积的最小值;
②试问:直线是否恒过一个定点?若过定点,请求出该定点,若不过定点,请说明理由.
【考点】
【答案】
(1);(2)①的最小值的,②直线恒过定点.
【解析】
试题分析:(1)由可得为的重心,设,则,再由,可得为的外心,在轴上,再由∥,可得,结合即可求得顶点的轨迹的方程;(2)恰为的右焦点.当直线,的斜率存在且不为0时,设直线的方程为.联立直线方程与椭圆方程,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系求得的纵坐标得到和与积.①根据焦半径公式得、,代入四边形面积公式,再由基本不等式求得四边形面积的最小值;②根据中点坐标公式得的坐标,得到直线的方程,化简整理令解得值,可得直线恒过定点;当直线,有一条直线的斜率不存在时,另一条直线的斜率为0,直线即为轴,过点(.
试题解析:(1)∵
∴由①知
∴为的重心
设,则,由②知是的外心
∴在轴上由③知,由,得,化简整理得:.
(2)解:恰为的右焦点,
①当直线的斜率存且不为0时,设直线的方程为,
由,
设则,
①根据焦半径公式得,
又,
所以,同理,
则,
当,即时取等号.
②根据中点坐标公式得,同理可求得,
则直线的斜率为,
∴直线的方程为,
整理化简得,
令,解得
∴直线恒过定点,
②当直线有一条直线斜率不存在时,另一条斜率一定为0,直线即为轴,过点,
综上,的最小值的,直线恒过定点.
题型:解答题
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难度:较难
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