解：（I）由题意，得： 又因为

解得 ，所以椭圆C的方程为 .

（II）当直线 的斜率不存在时，由题意知 的方程为x=0，

此时E，F为椭圆的上下顶点，且 ，

因为点 总在以线段 为直径的圆内，且 ，

所以 ，故点B在椭圆内.

当直线 的斜率存在时，设 的方程为 .

由方程组 得 ，

因为点B在椭圆内，

所以直线 与椭圆C有两个公共点，即 .

设 ，则 .

设EF的中点 ，则 ，

所以 .所以 ，

，

因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以 对于 恒成立.

所以 .

化简，得 ，整理，得 ，

而 （当且仅当k=0时等号成立）所以 ，

由m>0，得 .综上，m的取值范围是 .