1、
设满足以下两个条件的有穷数列 , , , 为 阶“期待数列”:
① ;
② .
(1)分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”.
(2)若某 2017 阶“期待数列”是等差数列,求该数列的通项公式.
(3)记 阶“期待数列”的前 项和为 ,试证: .
【考点】
【答案】
(1)解:三阶: − 1 2 , 0 , 1 2 四阶: − 3 8 , − 1 8 , 1 8 , 3 8 .
(2)解:设等差数列 , , , , 公差为 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,即 ,
∴ 且 时与①②矛盾,
时,由①②得: ,
∴ ,即 ,
由 得 ,即 ,
∴ ,
令 ,
∴ ,
时,同理得 ,
即 ,
由 得 即 ,
∴ ,
∴ 时, .
(3)解:当 时,显然 成立;
当 时,根据条件①得 ,
,
即 ,
,
∴ ,
∴ .
【解析】
(1)弄清新定义n 阶“期待数列”的含义,写出3 阶“期待数列”和4 阶“期待数列”即可;
(2)由2017 阶“期待数列”是等差数列,则要求数列有2017项,且这2017项的和为0,绝对值的和为1,设出数列的公差,对公差d=0,d>0,d<0,分别讨论求出通项;
(3)庑讨论k=n时,由定义得证,再讨论k<n时,由绝对值的性质即可证明不等式.
题型:解答题
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难度:困难
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