1、
已知正方形ABCD,点E,F分别在射线AB,射线BC上,AE=BF,DE与AF交于点O.
(1)如图1,当点E,F分别在线段AB,BC上时,则线段DE与AF的数量关系是_________,位置关系是_________.
(2)如图2,当点E在线段AB延长线上时,将线段AE沿AF进行平移至FG,连接DG.
①依题意将图2补全;
②小亮通过观察、实验提出猜想:在点E运动的过程中,始终有.
小亮把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:连接EG,要证明,只需证四边形FAEG是平行四边形及△DGE是等腰直角三角形.
想法2:延长AD,GF交于点H,要证明,只需证△DGH是直角三角形.
图1 图2
请你参考上面的想法,帮助小亮证明.(一种方法即可)
(1)相等,垂直;(2)①补图见解析;②证明见解析
解:(1)相等,垂直..
(2)①依题意补全图形..
②法1:
证明:连接GE.
由平移可得AE=FG,AE∥FG,∴四边形AEGF是平行四边形.
∴AF=EG,AF∥EG,
∴∠1=∠2.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD = AB,∠DAE=∠ABC= 90°.
∵AE=BF,
∴△AED≌△BFA.
∴∠3=∠4,AF = DE.
∴EG=DE.
∵∠2+∠4=90°,
∴∠1+∠3=90°,∴∠DEG=90°.
∴.
又 ∵,
∴.
法2:
证明:延长AD,GF交于点H,
由平移可得AE=FG,AE∥FG,
∴∠H+∠DAB= 180°
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB= 90°,AD=DC.
∴∠H = 90°.
∴.
∵∠HDC=∠DCF= 90°,
∴四边形HDCF是矩形.
∴HF=DC.
∴HF=AD.
∵HG=FG+HF,
∴HG=AE+HF=AE+AD.
∵易证BF=AH 且BF=AE,
∴HD=AE –AD.
∴.
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