1、
在△ABN中,∠B =90°,点M是AB上的动点(不与A,B两点重合),点C是BN延长线上的动点(不与点N重合),且AM=BC,CN=BM,连接CM与AN交于点P.
(1)在图1中依题意补全图形;
(2)小伟通过观察、实验,提出猜想:在点M,N运动的过程中,始终有∠APM=45°.小伟把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的一种思路:
要想解决这个问题,首先应想办法移动部分等线段构造全等三角形,证明线段相等,再构造平行四边形,证明线段相等,进而证明等腰直角三角形,出现45°的角,再通过平行四边形对边平行的性质,证明∠APM=45°.
他们的一种作法是:过点M在AB下方作MDAB于点M,并且使MD=CN.通过证明△AMD△CBM,得到AD=CM,再连接DN,证明四边形CMDN是平行四边形,得到DN=CM,进而证明△ADN是等腰直角三角形,得到∠DNA=45°.又由四边形CMDN是平行四边形,推得∠APM=45°.使问题得以解决.
请你参考上面同学的思路,用另一种方法证明∠APM=45°.
【考点】
【答案】
(1)补图见解析;(2)证明见解析
【解析】
(1)在图1中依题意补全图形,如图1所示:
(2)证明:如图2,
过点A作ADAB于点A,并且使AD=CN.连接DM,DC.
∵AM=BC,∠DAM=∠MBC =90°,
∴△DAM△MBC.
∴DM=CM, ∠AMD=∠BCM.
∵∠DAM=90°.
∴∠AMD+∠BMC =90°.
∴∠DMC =90°.
∴∠MCD =45°.
∵AD∥CN,AD=CD,
∴四边形ADCN是平行四边形.
∴AN∥DC.
∵∠MCD =45°.
∴∠APM=45°.
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难度:较难
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