1、
如图,已知ABCD是菱形,△EFP的顶点E,F,P分别在线段AB,AD,AC上,且EP=FP.
(1)证明:∠EPF+∠BAD=180°;
(2)若∠BAD=120°,证明:AE+AF=AP;
(3)若∠BAD=θ,AP=a,求AE+AF.
(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AF+AE=PA•cos .
试题分析:(1)作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N,Rt△PMF≌Rt△PNE,利用公共角求得∠MPF=∠NPE,可得∠EPF和∠BAD互补.
(2)按照(1)可得Rt△PAM≌Rt△PAN,∠BAD=120°,所以可以得∠PAM=60°,易知PA=2AM,
AE+AF=PA.
(3)利用(1)(2)的方法,Rt△PMF≌Rt△PNE,可以得到AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM∠PAM=,易知AM=PA•cos,所以AF+AE=PA•cos.
试题解析:
(1)如图1中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠PAM=∠PAN,
∴PM=PN,
∵PE=PF,
∴Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴∠MPF=∠NPE,
∴∠EPF=∠MPF,
∵∠BAD+∠MPN=360°﹣∠AMP﹣∠ANP=180°,
∴∠EPF+∠BAD=180°.
(2)如图2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴FM=NE,
∵PA=PA,PM=PN,
∴Rt△PAM≌Rt△PAN,
∴AM=AN,
∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,
∵∠BAD=120°,
∴∠PAM=60°,易知PA=2AM,
∴AE+AF=PA.
(3)结论:AF+AE=PA•cos.
理由:如图2中,作PM⊥AD于M,PN⊥AC于N.
由(1)可知Rt△PMF≌Rt△PNE,
∴FM=NE,
∵PA=PA,PM=PN,
∴Rt△PAM≌Rt△PAN,
∴AM=AN,
∴AF+AE=(AM+FM)+(AN﹣EN)=2AM,
∵∠BAD=θ,
∴∠PAM=,易知AM=PA•cos,
∴AF+AE=PA•cos.
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