1、
如图1是四棱锥的直观图,其正(主)视图和侧(左)视图均为直角三角形,俯视图外框为矩形,相关数据如图2所示.
(1)设中点为,在直线上找一点,使得平面,并说明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值为,求四棱锥的外接球的表面积.
【考点】
【答案】
(1) 见解析;(2).
【解析】
试题分析:(1)利用中位线定理构造平行四边形,得到;(2) 由二面角的平面角的余弦值为,得到,明确外接球的直径即为PB,易得四棱锥的外接球的表面积.
试题解析:
(1)当是中点时,平面,
证明如下:取中点,连接、、,
在中,、分别是、的中点,
∴是的中位线,
∴且,又是中点,,
∴且,
∴四边形是平行四边形,
∴.
又∵平面,平面,
∴平面.
(2)由三视图可得平面,
在底面中,过作交于点,连接,
∵平面,平面,∴,
又,平面,
平面,∵,∴平面,
又平面,∴,
∴是二面角的平面角,
在底面矩形,,,∴,,
在中,又,
∴,∴.
由直观图易知四棱锥的外接球的直径即为,
∴.
故四棱锥的外接球的表面积为.
题型:解答题
题类:
难度:一般
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