1、
在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为 (其中t为参数).现以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ.
(Ⅰ) 写出直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 过点M(﹣1,0)且与直线l平行的直线l1交C于A,B两点,求|AB|.
2、
平面直角坐标系xOy中,已知椭圆 的左焦点为F,离心率为 ,过点F且垂直于长轴的弦长为 .
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设点A,B分别是椭圆的左、右顶点,若过点P(﹣2,0)的直线与椭圆相交于不同两点M,N.
(i)求证:∠AFM=∠BFN;
(ii)求△MNF面积的最大值.
3、
已知函数f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.
4、
已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.
(Ⅰ)求证:BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值;
(Ⅲ)在线段CC1上是否存在点P,使得平面A1CD1⊥平面PBD,若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.
5、
设椭圆C: + =1(a>b>0),定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2;若抛物线x2=4y的焦点与椭圆C的一个短轴重合,且椭圆C的离心率为 .
(1)求椭圆C的方程和“伴随圆”E的方程;
(2)过“伴随圆”E上任意一点P作椭圆C的两条切线PA,PB,A,B为切点,延长PA与“伴随圆”E交于点Q,O为坐标原点.
①证明:PA⊥PB;
②若直线OP,OQ的斜率存在,设其分别为k1 , k2 , 试判断k1k2是否为定值,若是,求出该值;若不是,请说明理由.
6、
如图,椭圆的左右焦点分别为的、,离心率为;过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点,当时,点在轴上的射影为。连结并延长分别交于、两点,连接;与的面积分别记为,,设.
(Ⅰ)求椭圆和抛物线的方程;
(Ⅱ)求的取值范围.
7、
若函数有极值点,,且,则关于的方程的不同实根个数是( )
A. B. C. D.
8、
已知函数是定义在的可导函数,为其导函数,当且 时,,若曲线在处的切线的斜率为,则( )
A. 0 B. 1 C. D.
9、
已知函数,.
(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,函数的两个极值点为,,且.求证:.
10、
已知函数, .
(Ⅰ)若直线 与曲线和分别交于两点.设曲线
在点处的切线为,在点处的切线为.
(ⅰ)当时,若 ,求的值;
(ⅱ)若,求的最大值;
(Ⅱ)设函数在其定义域内恰有两个不同的极值点,,且.
若,且恒成立,求的取值范围.